una pregunta sobre dominios a algun experto

[gondrullo]

vamoave. tengo una pregunta para alguien que sepa de estas cosas de internet, compra de dominios y tal.

tengo una web en internet alojada en una de esas empresas de alojamiento a la que tambien le pago el dominio desde hace años. Es una web obsoleta y abandonada a la que no se le ha prestado atención.Yo no estaba cuando se compro ese dominio así que no se cómo va eso. Aunque hemos seguido pagando religiosamente el dominio y el alojamiento hasta hoy.

Ahora se está preparando una nueva web. y se va a aprovechar para cambiar ese dominio y poner otro más eficaz. Pero el tema es que la nueva web no la alojaría esa empresa con la que hemos estado hasta ahora, sino una empresa/institución que NO se dedica a internet, con lo que ellos NO me venderían el dominio, sino que lo tengo que comprar yo a quien sea (que no tengo ni idea de quién vende eso).

cómo va esto?
quien me vende el dominio tiene que alojar la web tambien?
dónde compro ese dominio? hay sitios "mejores" y "peores" como en una frutería?
puedo comprar un dominio y "llevármelo" con su web a alojarlo donde quiera?
No tengo ni idea de cómo van estas cosas, así que necesito que alguien me lo explique, plis...